4.10 正切函数的图象和性质

第二课时

（一）教学具准备

投影仪

（二）教学目标 

运用正切函数图像及性质解决问题．

（三）教学过程 

1．设置情境

本节课，我们将综合应用正切函数的性质，讨论泛正切函数的性质．

2．探索研究

（1）复习引入

师：上节课我们学习了正切函数的作图及性质，下面请同学们复述一下正切函数 的主要性质

生：正切函数 ，定义域为 ；值域为 ；周期为 ；单调递增区间 ， ．

（2）例题分析

【例1】判断下列函数的奇偶性：

（1） ； （2） ；

分析：根据函数的奇偶性定义及负角的诱导公式进行判断．

解：（1）∵ 的定义域为 关于原点对称．

∴ 为偶函数

（2）∵ 的定义域为 关于原点对称，且 且 ，

∴ 即不是奇函数又不是偶函数．

说明：函数具有奇、偶性的必要条件之一是定义域关于原点对称，故难证 或 成立之前，要先判断定义域是否关于原点对称．

【例2】求下列函数的单调区间：

（1） ； （2） ．

分析：利用复合函数的单调性求解．

解：（1）令 ，则

∵ 为增函数， 在 ， 上单调递增，

∴ 在 ，即 上单调递增．

（2）令 ，则

∵ 为减函数， 在 上单调递增，

∴ 在 上单调递减，即 在 上单调递减．

【例3】求下列函数的周期：

（1） （2） ．

分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周期为 来解．

解：（1）

∴周期

（2）

∴周期

师：从上面两例，你能得到函数 的周期吗？

生：周期

【例4】有两个函数 ， （其中 ），已知它们的周期之和为 ，且 ， ，求 、 、 的值．

解：∵ 的周期为 ， 的周期为 ，由已知 得

∴函数式为 ， ，由已知，得方程组

即 解得

∴ ， ，

［参考例题］求函数 的定义域．

解：所求自变量 必须满足

       （ ）

                （ ）

故其定义域为

3．演练反馈（投影）

（1）下列函数中，同时满足①在 上递增；②以 为周期；③是奇函数的是（      ）

A． B． C． D．

（2）作出函数    ，且 的简图．

（3）函数 的图像被平行直线_______隔开，与 轴交点的横坐标是__________，与 轴交点的纵坐标是_________，周期________，定义域__________，它的奇偶性是_____________．

参考答案：（1）C．

（2）

如图

（3） （ ）； ，（ ）；1； ； ；非奇非偶函数．

4．总结提炼

（1） 的周期公式 ，它没有极值，正切函数在定义域上不具有单调性（非增函数），了不存在减区间．

（2）求复合函数 的单调区间，应首先把 、 变换为正值，再用复合函数的单调性判断法则求解．

（四）板书设计 

课题—— 例1 例2 例3 例4

［参考例题］ 演练反馈 总结提炼